Wielkie odpowiedzi na małe pytania

Wyjaśnienie całej Natury to zadanie zbyt trudne dla pojedynczego człowieka, a nawet całego wieku. O wiele lepiej jest zrobić niewiele, mając pewność, że zrobiło się to poprawnie, a resztę pozostawić tym, którzy nadejdą po nas.

IZAAK NEWTON

Dzisiaj wiemy, że każda ze znanych nam teorii fizycznych ma granice stosowalności. Grawitacja w naszym najbliższym otoczeniu bardzo precyzyjnie opisywana jest przez teorię Newtona. Jeśli badamy układy o wielkich energiach lub rozmiarach, np. takie, które często pojawiaj się w astronomii, teoria Newtona przestaje wystarczać. Wtedy trzeba odwołać się do teorii Einsteina. Jest ona o wiele bardziej skomplikowana obliczeniowo, ale znacznie lepiej opisuje naturę grawitacji. Wiemy też, że istnieją obiekty i zjawiska, takie jak wnętrza czarnych dziur i kosmologiczny Wielki Wybuch, do opisu których nawet teoria Einsteina jest niewystarczająca. W tym miejscu pojawia się granica naszej wiedzy. Przypuszczamy, że przekroczenie tej granicy wymaga odkrycia teorii jeszcze bardziej doskonałej niż teoria grawitacji Einsteina, jednak obecnie takiej nie znamy. Chociaż próby jej znalezienia podejmowane są od stu lat, to nie mamy pewności, czy któraś z nich zmierza w dobrym kierunku.

Nie trzeba jednak sięgać tak daleko, żeby spotkać się z nieodgadnionym. W starych i dobrze przetestowanych teoriach fizycznych istnieje wiele zadziwiająco prostych, a zarazem fundamentalnych pytań, na które, pomimo upływu czasami nawet setek lat, ciągle nie znamy odpowiedzi. Nic w tym dziwnego. Przecież językiem fizyki jest matematyka. Niektóre słynne zagadnienia matematyczne, jak wielkie twierdzenie Fermata czy też tzw. siedemnasty problem Hilberta, można sformułować przy użyciu szkolnej matematyki. Ich zdefiniowanie to jednak dopiero początek – prostota języka nie oznacza, że równie łatwo będzie znaleźć rozwiązanie. W przypadku wielkiego twierdzenia Fermata trzeba było na nie czekać przez 358 lat.

Stare teorie, takie jak teorie grawitacji Newtona i Einsteina, przetrwały wiele testów. Sprawdzają się one znakomicie, oczywiście w ramach swoich granic stosowalności. Ich reguły są jasno określone i praktycznie niezmienne. Ale znajomość reguł to nie wszystko. Fizyk, noblista, Richard Feynman porównał kiedyś poznawanie Natury do nauki gry w szachy. Każde dziecko może nauczyć się zasad poruszania figurami, ale znajomość zasad to nie koniec, lecz dopiero początek zabawy. Ten arcyciekawy aspekt nauk teoretycznych jest mało doceniany przez osoby spoza nauki. Niestety, zdaniem Feynmana, ludzie zawsze pytają o to, czego fizycy nie wiedzą, a nie są zainteresowani teoriami, które fizycy poznali całkiem dobrze.

Granice wiedzy można przesuwać nie tylko poprzez odkrywanie nowych teorii fizycznych, lecz także studiując te istniejące. To pierwsze bardzo ważne zadanie jest obarczone wielkim ryzykiem: większość podejmowanych prób prowadzi donikąd. Studiując stare i dobrze potwierdzone teorie, mamy pewność, że nawet najmniejszy krok przybliża nas w dobrym kierunku: ku zrozumieniu, jak działa Natura. Historia nauki potwierdza, iż czasami mały krok i proste pytanie mogą zapoczątkować nieoczekiwaną rewolucję. Jedna z takich historii zaczyna się od Newtona.

Grawitacja

Dzieło „Philosophiæ naturalis principia mathematica”, w którym Newton zawarł swoją teorię, zostało opublikowane w 1687 r. Prawa Newtona zostały sformułowane dla bardzo prostych układów fizycznych: ciał tak małych, że w praktyce można uważać je za tzw. masy punktowe. Zrozumienie bardziej realistycznych układów wymaga żmudnego studiowania konsekwencji tych praw. Jak daleko udało się nam sięgnąć po 331 latach? Dla przykładu rozważmy problem, który nurtował jeszcze samego Newtona. Jest to zagadnienie oddziaływania grawitacyjnego pomiędzy trzema ciałami (np. pomiędzy Słońcem, Ziemią i Księżycem).

Jeśli przez „ciało” będziemy rozumieć realistyczny, rozciągający się w przestrzeni obiekt fizyczny, np. wirującą gwiazdę, to dosyć szybko popadniemy w kłopoty. Chociaż kształt wirującego ciała studiowało wiele wybitnych osób, to pełne rozwiązanie tego problemu nie jest znane do dzisiaj. Dla prostoty w naszych rozważaniach ograniczymy się do mas punktowych – wyidealizowanych obiektów o zerowej objętości.

Oddziaływanie grawitacyjne pomiędzy dwiema masami punktowymi jest treścią prawa grawitacji Newtona. (W „Principiach” znajduje się piękne twierdzenie, które pokazuje, że to samo prawo obowiązuje dla dwóch rozciągłych ciał o symetrii sferycznej). Chociaż Słońce, Ziemia i Księżyc to trzy ciała, a nie dwa, to duże różnice ich mas i odległości pomiędzy nimi powodują, że w przybliżeniu (tylko w przybliżeniu!) można opisać ich ruch, traktując je jako dwa niezależne układy dwóch ciał: Słońce–Ziemia i Ziemia–Księżyc. Przeważnie w podobny uproszczony sposób opisuje się dynamikę Układu Słonecznego: uwzględniając tylko oddziaływanie grawitacyjne Słońca z kolejnymi planetami.

Pierwszym nietrywialnym zagadnieniem dotyczącym mas punktowych w teorii grawitacji Newtona jest zagadnienie trzech ciał. Po Newtonie z problemem tym mierzyło się wiele wybitnych osób. Po ponad dwustu latach zmagania te doprowadziły do rewolucji w naszym rozumieniu Natury i ukazały głęboką prawdę, która sięga daleko poza teorię Newtona, prawdę, która przez wszystkie te lata była tuż-tuż: determinizm nie oznacza przewidywalności!

Teoria chaosu

Wśród znakomitych naukowców zajmujących się problemem trzech ciał na wyróżnienie niewątpliwie zasługuje żyjący na przełomie XIX i XX w. Henri Poincaré, czasem nazywany ojcem teorii chaosu.

Większość współczesnych teorii fizycznych można przedstawić następująco: określamy stan układu w danej chwili, a prawa danej teorii pozwalają nam przewidzieć jego stan w chwili późniejszej. Pod koniec XIX w. Poincaré jako pierwszy zauważył, że dla pewnych początkowych konfiguracji trzech ciał bardzo drobna zmiana położenia w chwili początkowej może prowadzić po krótkim czasie do zupełnie odmiennych trajektorii tych ciał. Używając współczesnej terminologii: odkrył zjawisko czułości na warunki początkowe. Teoria chaosu dotyczy układów wykazujących tę cechę. Ta właściwość oznacza, że nawet jeśli znamy dokładne prawa rządzące układem fizycznym, to nie możemy mieć pewności, że potrafimy na ich podstawie przewidzieć dłuższą ewolucję tego układu. Wystarczy, że mierząc położenie początkowe jednego z trzech ciał pomylimy się o milimetr (każdy pomiar fizyczny obarczony jest pewnym, choćby nawet bardzo małym błędem), a po stosunkowo krótkim czasie ta drobna niedokładność spowoduje, że nasze przewidywania staną się całkowicie niepoprawne.

Poincaré swoją analizę problemu trzech ciał opisał za pomocą prawie tysiąca trzystu stron przepięknej matematyki zawartej w trzytomowym dziele „Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste” (1892–1899). Opisane tam metody stosowane są do dzisiaj i to w znacznie bardziej ogólnym kontekście. Powtórzmy: determinizm nie oznacza przewidywalności!

Jak to się stało, że taka fundamentalna właściwość teorii Newtona pozostała niedostrzeżona przez ponad dwa wieki? Zadziałał tu swego rodzaju efekt selekcji.

Dla bardzo prostych przypadków da się uzyskać „czyste”, matematycznie eleganckie rozwiązania równań Newtona. Przykładowo, oddziaływujące ze sobą dwie masy punktowe mogą poruszać się po elipsach, z regularnością zegarka powracając do tych samych punktów na swoich orbitach. Położenie każdej w dowolnym momencie można przewidzieć na podstawie prostego wzoru. Tego typu rozwiązania określa się mianem ścisłych. W przypadkach trudniejszych nie da się znaleźć gotowego rozwiązania – położenie mas trzeba żmudnie odtwarzać krok po kroku, sekunda po sekundzie. Przykładowo, równania modelujące pogodę są skomplikowane i nie istnieje prosty wzór przewidujący temperaturę powietrza w Krakowie, do którego wystarczyłoby pod „t” podstawić „27 lutego 2025 roku”. Procedura benedyktyńskiego wędrowania ku przyszłości, kroczek po kroczku, określana jest mianem rozwiązania numerycznego. Komputery są znacznie sprawniejsze od nas, ludzi, w tej żmudnej pracy.

W pewnym sensie można więc powiedzieć, że przez stulecia nie znajdowano rozwiązań skomplikowanych (w tym: chaotycznych), bo szukano prostych i eleganckich.

Wynalezienie komputerów diametralnie zmieniło sytuację. Dostrzeżenie chaosu nie wymagało już geniuszu Poincarégo. Na początku lat 60. XX w. meteorolog Edward Lorenz, badając równania, które modelowały pogodę, przez przypadek odkrył powtórnie zjawisko czułości na warunki początkowe, tzw. efekt motyla: ruch skrzydeł motyla w Brazylii może wywołać tornado w Teksasie. Każdy, kto miał dostęp do komputera, mógł przeprowadzić podobne badania. Powstała teoria chaosu. Okazało się, że obserwacja dokonana przez Poincarégo nie jest tylko ciekawostką matematyczną. Czułość na warunki początkowe pojawia się powszechnie w różnych układach fizycznych.

Problem trzech ciał uwidocznił, że znajomość zasad i znajomość konsekwencji tych zasad to dwie różne rzeczy. Można powtórzyć za Feynmanem, że bardzo trudno jest poznać coś naprawdę.

Zadziwiający fakt, że czasami nie można przewidzieć ewolucji układu trzech ciał, pomimo znajomości praw nim rządzących, fascynuje nie tylko naukowców. Również literatura podejmuje ten temat. Wystarczy wspomnieć „Katedrę” Jacka Dukaja czy „Problem trzech ciał” Cixina Liu. Skoro taki prosty układ może wykazywać czułość na warunki początkowe, to czy tym bardziej nasze ludzkie losy, podobnie jak w filmie Kieślowskiego „Przypadek”, nie ulegają nieustannym dramatycznym zwrotom pod wpływem drobnych, pozornie nic nieznaczących zdarzeń?

Małe pytanie za milion dolarów

Problem trzech ciał to tylko jeden z wielu ważnych problemów sformułowanych w ramach teorii Newtona, które opierają się próbom rozwiązania przez setki lat. Inny ciekawy problem dotyczy przepływu cieczy lepkiej. W terminologii naukowej, wbrew potocznemu rozumieniu słowa »lepkość«, woda, a nawet powietrze jest cieczą lepką (oczywiście mniej lepką niż np. miód). Równania, które opisują przepływ cieczy lepkiej, wyprowadzono prawie dwieście lat temu. Noszą one nazwę równań Naviera-Stokesa.

Podczas przepływu cieczy mogą pojawić się wiry. Wyjaśnienie, w jaki sposób wiry powstają i ewoluują, pozwoliłoby lepiej zrozumieć wiele zagadnień: od przepływu krwi przez nasze żyły, poprzez optymalizację kształtu skrzydeł samolotu, na zjawiskach astrofizycznych kończąc.

Nie potrafimy znaleźć ścisłych nietrywialnych rozwiązań równań Naviera- -Stokesa. Chociaż można te równania rozwiązać na komputerze, to ze względu na komplikacje związane z powstawaniem wirów nie wiemy, jak udowodnić, że rozwiązania numeryczne są prawdziwymi rozwiązaniami oryginalnych równań. Algorytmy komputerowe mogą prowadzić do znajdowania rozwiązań numerycznych tam, gdzie prawdziwe rozwiązania nie istnieją, lub do braku rozwiązań numerycznych tam, gdzie prawdziwe rozwiązania istnieją. Instytut Matematyczny Claya wyznaczył milion dolarów nagrody za rozwiązanie tego problemu. Pieniądze nadal czekają na śmiałka, któremu uda się znaleźć odpowiedź na to małe pytanie.

Niewiele, lecz poprawnie

W każdej teorii fizycznej istnieje wiele prostych nierozwiązanych zagadnień, które domagają się, aby je zrozumieć. Równania Einsteina w pełnej postaci zawierają tysiące razy więcej członów niż równania Newtona. Skoro teoria Newtona przez ponad dwa wieki broniła swoich sekretów, to można się spodziewać, że teoria Einsteina nadal skrywa w sobie, pomimo ponad stu lat badań, niejedną niespodziankę.

Próby znajdowania odpowiedzi na małe pytania, sformułowane w ramach dobrze przetestowanych teorii, są trudne. To, że pytania są proste, a teorie stare, oznacza, że przed nami mierzyło się z nimi wiele wybitnych osób. Naprawdę nie jest łatwo w badaniach teoretycznych po upływie setek lat dołożyć kolejną cegiełkę. Każda taka cegiełka jest wartościowa. Rzymscy konsulowie, przekazując władzę następcom, wypowiadali słowa: ,,Zrobiłem to, co mogłem, niech inni, ci, którzy potrafią, zrobią więcej”. Właśnie taką skromną sentencję zapragnął mieć na swoim grobie Stanisław Lem. Myślę, że zgodziłby się z nią autor słów, które zacytowałem na początku tego tekstu. ©

Autor jest doktorem habilitowanym, pracuje w Zakładzie Astrofizyki Relatywistycznej i Kosmologii w OA UJ.

Sebastian J. Szybka